Mathematik - Pyramide - Grundwissen

Eine Ausarbeitung zur Lehramtsprüfung in Mathematik von Ingrid Huber im Juni 1998



Das Grundwissen über Pyramiden

Ein Körper, der von einem beliebigen n-Eck und von n Dreiecken, die in einem Punkt zusammenstoßen, begrenzt wird, heißt Pyramide.

Das n-Eck, bzw. Vieleck, wird als die Grundfläche der Pyramide bezeichnet, die Dreiecke heißen Seitenflächen.

Die Kanten, die die Seitenflächen miteinander bilden, werden Seitenkanten genannt, die Seiten des Vielecks heißen Grundkanten.

Der Punkt, in dem die Seitenkanten zusammenstoßen, heißt Spitze der Pyramide.

Der Abstand der Spitze zur Grundfläche (Normalabstand) ist die Höhe der Pyramide, die Seitenhöhe ist die Höhe eines Seitenflächendreiecks.

Die Seitenflächen bilden die Mantelfläche der Pyramide.

Pyramiden unterscheidet man einerseits nach der Art der Grundfläche, andererseits nach der Lage der Spitze zum Basismittelpunkt:

regelmäßig die Grundfläche ist ein regelmäßiges Vieleck.
unregelmäßig die Grundfläche ist ein unregelmäßiges Vieleck.
gerade der Fußpunkt der Körperhöhe ist gleichzeitig der Basismittelpunkt. Diese Verbindungsgerade ist dann die Achse der Pyramide und auch die Höhe. Alle Seitenflächen bestehen aus gleichschenkeligen Dreiecken.
schief die Spitze steht nicht normal auf den Basismittelpunkt.

Nach der Seitenzahl n der Grundfläche spricht man auch von n-seitigen Pyramiden.

Beispiele:

Gerade Pyramide Schiefe Pyramide  
unregelmäßig, gerade
regelmäßig, schief
 

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Besondere Pyramiden

Gerade quadratische Pyramide: Quadratische Pyramide  
Tetraeder: (regelmäßiger Vierflächner)
* eine regelmäßige dreiseitige Pyramide
* alle Kanten sind gleich lang
Tetraeder  
Oktaeder: (regelmäßiger Achtflächner)
* eine quadratische Doppelpyramide 
* alle Kanten sind gleich lang
Oktaeder  

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Berechnungen an der Pyramide

Mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes ist es nicht schwierig fehlende Längen einer Pyramide zu berechnen:

1. Beispiel:
h = Körperhöhe
ha = Höhe des Seitenflächendreiecks

Pythagoras Pythagoräischer Lehrsatz

2. Beispiel:
s = Seitenkante

Pyramide Rechtwinkeliges Dreieck

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Volumen und Oberflächeninhalt der Pyramide

Volumen :Volumen

Den Beweis für diese Volumsformel kann man mit einem „Schüttmodell“ bringen:
Für diesen Versuch braucht man einen pyramidenförmigen Hohlkörper und einen prismenförmigen Hohlkörper, die dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe haben. Man füllt den pyramidenförmigen Hohlkörper mit Sand oder Wasser und schüttet den Inhalt in den prismenförmigen Hohlkörper.

Man stellt fest: Das Volumen der Pyramide beträgt genau ein Drittel des Volumens des Prismas, das dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe hat.

Grundfläche

Oberflächeninhalt:  O = G + M

O = Flächeninhalt des n-Ecks + n Dreiecksflächeninhalte

Beispiel:  Regelmäßige dreiseitige Pyramide

Dreiseitige Pyramide Netz der Pyramide

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