Mathematische Diskussionen zur Bauweise der Cheopspyramide

Ausarbeitung von Ingrid Huber im Juni 1998

So rechneten Ägypter - Volumen eines Pyramidenstumpfs

Die wichtigsten Zeugnisse ägyptischer Rechenkunst sind die zwei Papyrusrollen Papyrus Rhind (benannt nach dem ersten Besitzer) und Papyrus Moskau (nach dem Aufbewahrungsort), die ungefähr mit 1800 v. Chr. datiert werden.

Der Papyrus Moskau enthält neben anderen Aufgaben die exakte Vorschrift für das Volumen des quadratischen Pyramidenstumpfes. Wie bei allen Beispielen gibt es hier keine Formel, sondern nur Vorschriften, was zu tun sei.

Zeichnung im Papyrus:   Zeichnung zur Erläuterung:
Papyrus
Seiten:  2 und 4 Ellen
Höhe:    6 Ellen
Pyramidenstumpf

Der Text lautet:

(1)  Addiere du zusammen diese 16 16 ist das Quadrat der Seitenlänge des Grundquadrats, also dessen Flächeninhalt (a²).
(2)  mit dieser 8 und mit dieser 4. 8 ist das Produkt aus der Länge der Quadratseiten der Grund- und Deckfläche (ab); 4 ist der Flächeninhalt des Deckquadrats (b²).
(3)  Es entsteht 28. Berechne du a² + ab + b²
(4)  1/3 von 6. Es entsteht 2. Rechne 1/3 von 6 ist 1/3 der Höhe, also h/3
(5)  du mit 28 zweimal. Es entsteht 56. V = ( a² + ab + b² ) . h/3
(6)  Siehe: Er ist 56. Du hast richtig gefunden.   

Die Ägypter berechneten das Volumen des Pyramidenstumpfes schon so, wie es unserer heutigen Formel
V = ( a² + ab + b² ) .h/3
entspricht.
V = ( 16 + 2 . 4 + 4 ) . 6/3 = 56

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Neigungswinkel der absteigenden Gänge

Die Neigungswinkel in Gängen, Stollen oder bestimmter sonstiger Passagen scheinen durch ein Verhältnis h : a erzielt worden zu sein, womit der Winkel "Alpha" bestimmt war. Das ist auf einfache Weise möglich, zumal hier häufig das Verhältnis 1 : 2 angewandt worden ist. Dies trifft vor allem für die Gänge und die Galerie in der Cheopspyramide zu, wo der Neigungswinkel von etwa 26°30' ziemlich genau diesem außerordentlich einfachen Verhältnis entspricht.

Die Winkelbestimmung durch zwei rechtwinkelig zueinander stehende Längen ergibt sich aus den Aufgaben, wie sie in den berühmten mathematischen Papyrus Rhind gestellt sind. Danach haben die Ägypter als Konstante den Wert h = 1 Elle von 7 Handbreiten oder 28 Fingerbreiten betrachtet und die Größe eines Winkels in Handbreiten- oder Fingerangaben für a.

Neigungswinkel

  Alpha = tan= h/a  

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Die Beziehung "Pi" in der Cheopspyramide

Die Methoden zur Gewinnung der Zahl Pi, Bestimmung der Beziehung zwischen Kreisumfang und Durchmesser, also praktisch die Zahl Pi = 3,141592......waren der klassischen Antike unbekannt. Sie beruhen auf modernen Erkenntnissen, und dennoch können wir sehen, daß die Konstante Pi, die jahrhundertelang gesucht wurde, sich sozusagen umgesetzt in der Großen Pyramide findet.

Die Cheopspyramide versetzte viele Wissenschafter in Staunen, als sie entdeckten, daß bei
Division des Umfangs der Pyramide durch die doppelte Länge der Körperhöhe
ein Näherungswert für die Kreiszahl Pi auftritt:

Die 4 Seiten der Basis mit je rund 230,56 m ergeben einen Umfang von 922,24 m. Teilt man nun diese Zahl für den Umfang durch die Zahl für die doppelte Höhe der Pyramide, die zur Zeit ihrer Erbauung 146,72 m hoch war, dann erhält man annähernd den Wert Pi.

Cheopspyramide
Umfang

In ägyptischen Ellen berechnet: 1 Elle = 0,524 m

Basis: 440 Ellen
Höhe: 280 Ellen

in Ellen

Der Bruch Archimedes entspricht der oberen Grenze, die Archimedes für den Wert Pi zuließ.

Sehr häufig wird auch folgende Beziehung zitiert:
„Das Verhältnis des Flächeninhalts der Basis zum Flächeninhalt des Mittelschnitts = Pi “.

Umgesetzt auf die Cheopspyramide ergibt das:

Flächeninhalt der Basis: a²   =   53 157,91 m²

Flächeninhalt des Mittelschnitts

Auch bei dieser Beziehung erhält man nur einen Näherungswert von Pi. Viele Wissenschafter haben vergeblich nach der genauen Kreiszahl gesucht, wobei auch mit den Maßen der Cheopspyramide oft manipuliert wurde. Man glaubte, daß die Ägypter beim Bau der besonders schönen Cheopspyramide die Kreiszahl bereits gekannt haben müssten, aber in Wirklichkeit waren sie ständig auf der Suche nach recht einfachen und vor allem praktischen Maßen.

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Der rätselhafte Böschungswinkel

Da die Ägypter beim Bau ihrer Pyramiden sehr praxisnah und weniger theoretisch vorgingen, ist nachfolgender Konstruktionsvorgang denkbar:

Die große Verehrung ihres Sonnengottes führte unwillkürlich bei Priestern und Pharaonen zur Sonnenscheibe, also zum Kreis oder zur Kreisscheibe. Damit lassen sich aber auf einfache Weise die Umrisslinien einer Pyramide gewinnen. Man braucht also dazu nur eine Kreisscheibe (die Sonnenscheibe) abzurollen und sie dann mehrmals übereinander zu setzen.

Dieser Vorgang sieht genau genommen folgendermaßen aus:

Kochansky

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Der Goldene Schnitt in der Cheopspyramide

Neben der mathematischen Beziehung Pi wird vor allem auch immer wieder der Goldene Schnitt mit der Cheopspyramide in Zusammenhang gebracht.

Der Goldene Schnitt, dessen Zahlenwert sich durch die Konstante Rho = 1,618 (die Goldzahl) ausdrückt, lässt sich vor allem in dem Verhältnis zwischen einer Höhe eines Seitenflächendreiecks und der halben Basislänge feststellen, d. h.:

Goldener Schnitt

Die Höhe auf a ergibt sich nach Pythagoras:

Majord.h.: a = Major von ha

Heute scheint es abwegig, in der Cheopspyramide das gewollte Symbol des Kreises zu sehen, und man glaubt auch nicht, daß sie absichtlich den Goldenen Schnitt enthält. Der Vergleich der verschiedenen Pyramiden zeigt vielmehr, daß die Architekten ständig auf der Suche nach ganzen und einfachen Zahlen für die Abmessungen h und a oder d in den entsprechenden rechtwinkligen Dreiecken waren, die den Neigungswinkel bestimmen.

 

 

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